IA 19 - Eletrostática de Gaus, Laplace e Poisson

Gauss, Laplace e Poisson são nomes gigantes na matemática, na física e na estatística. Eles aparecem juntos com frequência porque suas ideias se conectam tanto na descrição de fenômenos físicos (como a eletrostática) quanto na teoria das probabilidades.

As equações de Laplace e Poisson surgem muito naturalmente no contexto da eletrostática. Para obtermos tais equações, comecemos com a Lei de Gauss para a eletrostática:

• ∇ ⋅ E = ρ / ϵ0: onde E é o campo elétrico, ρ é a densidade de carga elétrica e ϵ0  é a permissividade elétrica do vácuo.

Podemos relacionar o campo elétrico com o potencial elétrico pela seguinte relação:

• E = − ∇. V

Substituindo na expressão anterior, encontramos a equação de Poisson:

• ∇² . V = − ρ / ϵ0.

Se tomarmos o caso em que a densidade de cargas é nula, ou seja, não há cargas no meio, então obtemos a equação de Laplace:

• ∇² . V = 0

Em problemas de eletrostática, o objetivo geralmente reside em encontrar o campo elétrico. Em muitos casos é mais fácil encontrarmos primeiro o potencial através das equações de Laplace ou Poisson e então, através de um gradiente, obtermos o campo elétrico. Isso ocorre devido à necessidade de termos condições de contorno para que as equações de Laplace e Poisson sejam devidamente resolvidas. 

Carl Friedrich Gauss (1777–1855) - Gauss fez descobertas brilhantes em várias áreas, como teoria dos números, geometria e eletromagnetismo.

• Distribuição Gaussiana (Curva Normal): Na estatística, ele popularizou a famosa curva em forma de sino. Ela mostra que a maioria dos dados de uma amostra se concentra ao redor de uma média, sendo usada para modelar erros de medição.
• Lei de Gauss: Na física, relaciona o fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada com a carga elétrica dentro dela.

Pierre-Simon Laplace (1749–1827) - Laplace trabalhou fortemente com mecânica celeste, probabilidade e equações diferenciais.

• Equação de Laplace: É uma equação diferencial usada para descrever o comportamento de potenciais (como o potencial elétrico) em regiões do espaço que não possuem carga elétrica.
• Probabilidade: Ele avançou os estudos sobre a distribuição normal e organizou a matemática do acaso em seu famoso tratado analítico sobre probabilidades.

Siméon Denis Poisson (1781–1840) - Poisson foi aluno de Laplace e expandiu muitas das ideias do mestre.

• Equação de Poisson: É uma versão mais geral da equação de Laplace. Ela descreve o potencial elétrico em regiões que possuem carga (a fonte do campo).
• Distribuição de Poisson: Na estatística, modela a probabilidade de um número de eventos acontecerem em um intervalo fixo de tempo ou espaço (por exemplo, quantos clientes entram em uma loja por hora)

© Direitos de autor. 2017: Gomes; Sinésio Raimundo. Última atualização: 15/09/2024